ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

СКАТЫВАНИЕ ТЕЛ С НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ

1. Эксперименты Галилея с шарами, скатывающимися с наклонной плоскости.

Галилей использовал наклонную плоскость с гладкой канавкой посередине, по которой скатывались латунные шары. По водным часам он засекал определённый интервал времени и фиксировал расстояния, которые за это время преодолевали шары. Галилей выяснил, что если время увеличить в два раза, то шары прокатятся в четыре раза дальше (т.е. зависимость квадратичная). Это опровергало мнение Аристотеля, что скорость шаров будет постоянной.

2. Скатывание с наклонной плоскости шаров, цилиндров и труб.

Ускорение тела, скатывающегося с наклонной плоскости без проскальзывания, равно a= g·sinα / (1+I/mR²),  где I - момент инерции, R - внешний радиус, m - масса тела. Время скатывания T = √2L/a ~ a^-1/2, где L - длина наклонной плоскости.

I_шар = 2mR²/5 = 0,40·mR² (сплошной шар)
I_{цилиндр} = mR²/2 = 0,50·mR² (сплошной цилиндр)
I_сфера = 2mR²/3 = 0,67·mR² (сфера с тонкими стенками)
I_труба = mR² = 1,0·mR² (труба с тонкими стенками)

Рассмотрим два сплошных цилиндра, движущихся вниз по наклонной плоскости: один цилиндр скатывается без проскальзывания, а другой соскальзывает без трения.  В случае соскальзывания вращения нет и  a= g·sinα. Поэтому соскальзывающий цилиндр достигнет конца наклонной плоскости первым. T_{скатывания}/T_{соскальзывания} = (1+I/mR²)^1/2 = 1.22

Если два цилиндрических тела скатываются вниз по наклонной плоскости без проскальзывания, то тело с меньшим моментом инерции достигнет конца наклонной плоскости первым. Таким образом, в паре полый цилиндр (труба) и сплошной цилиндр последний достигнет конца наклонной плоскости раньше трубы. T_т/T_ц = (2.0/1.5)^1/2 = 1.15

Далее заменим трубу сплошным шаром такого же радиуса. В этом случае отставание цилиндра от шара мало, так как их моменты инерции близки:  I_шара = 0.40·mR², I_{цилиндра} =  0.50·mR² Найдём отношение времени скатывания цилиндра ко времени скатывания шара. T_ц/T_ш = (1.5/1.4)^1/2 = 1.035. Шар скатывается на 3.5% быстрее.

Видео-анимации в разделе

Используя наклонную плоскость с гладкой канавкой посередине, Галилей выяснил, что скорость скатывающегося шара квадратично зависит от времени. Это опровергало мнение Аристотеля, что скорость шаров будет постоянной.