1.4 Циркуляция вектора напряженности электростатического поля. Потенциал поля

Если в электростатическом поле точечного заряда q из точки 1 в точку 2 вдоль произвольной траектории перемещается другой точечный заряд q₀ (рис. 1.8), то кулоновская сила F, приложенная к заряду, совершает работу. Работа, совершаемая силой  F на элементарном перемещении dl равна

Так как dl cos α = dr , то

Работа при перемещении заряда q₀ из точки 1 в точку 2 определяется выражением

то есть не зависит от траектории перемещения заряда, а определяется только положениями начальной 1 и конечной 2 точек. Следовательно, электростатическое поле точечного заряда является потенциальным, а кулоновские силы – консервативными силами.

Из формулы (1.10) следует, что работа, совершаемая при перемещении электрического заряда во внешнем электростатическом поле по любому замкнутому пути L, равна нулю, то есть

Если в качестве заряда, переносимого в электростатическом поле, взять положительный единичный точечный заряд, то элементарная работа сил поля на перемещении dl будет равна Edl = E cosα·dl , где E cosα  проекция вектора E на направление элементарного перемещения. Тогда формулу (1.11) можно записать в виде

Этот интеграл называется циркуляцией вектора напряженности. Следовательно, циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю. Силовое поле, обладающее свойством (1.12), является потенциальным. Из обращения в нуль циркуляции вектора E следует, что линии напряженности электростатического поля не могут быть замкнутыми: они начинаются и оканчиваются на зарядах (положительных и отрицательных) или же уходят в бесконечность.

Формула (1.12) справедлива только для электростатического поля; для электрического поля движущихся зарядов циркуляция вектора напряженности отлична от нуля.

Тело, находящееся в потенциальном поле сил, в частности, в электростатическом поле, обладает потенциальной энергией, за счет которой силами поля совершается работа. Поэтому работу кулоновских сил (формула (1.10)) можно представить как разность потенциальных энергий, которыми обладает точечный заряд q₀ в начальной и конечной точках поля заряда q :

Таким образом, потенциальная энергия заряда q₀ в поле заряда равна

где С – постоянная интегрирования, которая определяется из граничных условий. При r→∞ потенциальная энергия U = 0 и C = 0 . Следовательно, потенциальная энергия заряда q₀ , находящегося в поле заряда q на расстоянии r от него, равна

Если поле создается системой из n точечных зарядов q₁, q₂, ... ,q_n , то работа электростатических сил, совершаемая над зарядом q₀ , равна алгебраической сумме работ сил, обусловленных каждым из зарядов в отдельности. Поэтому потенциальная энергия U заряда q₀  , находящегося в этом поле, равна сумме его потенциальных энергий U_i в полях, создаваемых каждым из зарядов в отдельности:

Из формул (1.14) и (1.15) можно выделить отношение U / q₀ , которое называется потенциалом и является энергетической характеристикой электростатического поля:

Таким образом, потенциал в какой-либо точке электростатического поля есть физическая скалярная величина, определяемая потенциальной энергией единичного положительного заряда, помещенного в эту точку.

Из формулы (1.16) с учетом (1.14) следует, что потенциал точки поля точечного заряда q

где r – расстояние от заряда до заданной точки.

Работа, совершаемая силами электростатического поля по перемещению заряда q₀ из точки 1 в точку 2 (выражение (1.13)) может быть представлена как

то есть работа кулоновских сил численно равна произведению величины перемещаемого заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках поля. Из формулы (1.18) следует, что разность потенциалов двух точек электростатического поля – это физическая скалярная величина, определяемая работой, совершаемой кулоновскими силами при перемещении единичного положительного заряда из одной точки в другую.

Если перемещать заряд q₀ из произвольной точки за пределы поля, то есть в бесконечность, где по условию потенциал равен нулю, то согласно (1.18) работа сил электростатического поля A_∞ = q₀φ , откуда

Таким образом, потенциал – это физическая величина, определяемая работой по перемещению единичного положительного заряда из данной точки поля в бесконечность.

Единица потенциала – вольт (В): 1 В – это потенциал такой точки поля, в которой заряд в 1 Кл обладает потенциальной энергией в 1 Дж (см. формулу (1.16)):

Из формул (1.15) и (1.16) вытекает, что если электростатическое поле создается несколькими зарядами, то потенциал точки поля системы зарядов равен алгебраической сумме потенциалов полей всех этих зарядов: