2.2. Уравнение бегущей волны

Рассмотрим бегущую плоскую волну, предполагая, что колебания частиц среды являются гармоническими, а ось х совпадает с направлением распространения волны (рис. 2.2). Волновой процесс будет известен, если знать значение смещения ξ в каждый момент времени для каждой точки прямой, вдоль которой распространяется волна. Другими словами, необходимо знать смещение точки ξ как функцию времени и координат, то есть ξ(x,t).

Пусть точка В среды находится на расстоянии х от источника колебаний О. Если колебания точек среды, лежащих в плоскости х=0, описываются функцией ξ(0,t) = A cos ωt, то частица В колеблется по тому же закону, но ее колебания отстают по времени от колебаний источника на величину τ, так как для прохождения волной расстояния х требуется время . Тогда уравнение колебаний частиц, лежащих в плоскости х, будет иметь вид:

откуда следует, что волновой процесс – процесс двоякопериодический: функция ξ(x,t) является не только периодической функцией времени, но и периодической функцией координаты. Уравнение (2.3) представляет собой уравнение бегущей волны.

Если плоская волна распространяется в направлении, противоположном тому, в котором отсчитывается расстояние х, то уравнение такой волны примет вид:

В общем случае уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х в среде, не поглощающей энергию (А=const), имеет вид:

где ω – циклическая частота волны; φ – начальная фаза колебаний, определяемая выбором начала отсчета х и t; аргумент косинуса (выражение в квадратных скобках) – фаза плоской волны.

Учитывая, что ω = 2π/T и νT = λ , получим

где k – волновое число. Волновое число показывает, сколько длин волн укладывается на расстоянии, равном 2π, аналогично тому, как циклическая частота ω показывает, сколько периодов колебаний укладывается в промежутке времени, равном 2π. Введение понятия волнового числа позволяет записать уравнение (2.4) в более симметричной форме:

Найдем вторые производные от ξ по переменным t и х:

или или откуда следует

Уравнение (2.6) получено для частного случая – для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х. Распространение волнового процесса в однородной изотропной среде в общем случае описывается волновым уравнением – дифференциальным уравнением в частных производных

решением которого является уравнение любой волны.

В случае сферической волны амплитуда убывает обратно пропорционально расстоянию r от источника колебаний. Зависимость смещения ξ частиц среды от координат и времени (решение уравнения (2.7)) в данном случае будет иметь следующий вид:

где r – расстояние от центра возмущения до рассматриваемой точки среды (радиус сферической поверхности в момент времени t).