<b>Первое начало термодинамики</b>

3.1. Первое начало термодинамики

3.1.1. Первое начало термодинамики в применении к изопроцессам в идеальных газах
       3.1.1.1. Изотермический процесс
       3.1.1.2. Изобарический процесс
       3.1.1.3. Изохорический процесс
       3.1.1.4. Адиабатический процесс

Исторически термодинамика возникла как раздел физики, изучающий соотношение между теплотой и работой.

В настоящее время термодинамика рассматривает разнообразные физические явления с точки зрения тех превращений энергии, которыми сопровождаются эти явления. В основе термодинамики - три основных закона (начала), которые являются обобщением опытных данных и служат для объяснения различных явлений и экспериментально установленных законов.

Первое начало термодинамики - закон сохранения и превращения энергии, которым сопровождаются термодинамические процессы. Оно утверждает: "Изменение внутренней энергии системы при переходе из одного состояния в другое равно сумме механических эквивалентов всех внешних воздействий". Математически первое начало термодинамики можно записать так

dU = dQ - dA + dM ,       (13.1)
где dU - изменение внутренней энергии системы;
dQ - элементарное количество тепла, подводимого к системе;
dA - элементарная работа, совершаемая системой;
dM - другие виды элементарных энергий.

Если dM = 0, то

dU = dQ - dA или dQ = dU + dA.       (13.2)

Из первого начала термодинамики вытекает невозможность построения вечного двигателя первого рода, т.е. такой машины, которая производила бы работу без потребления эквивалентного количества энергии.


3.1.1. Первое начало термодинамики в применении к изопроцессам в идеальных газах

3.1.1.1. Изотермический процесс

Изотермический процесс. Это процесс, протекающий при постоянной температуре (T = const). Тогда

dQ = dU + dA = dA,       (13.3)
т.к. dU = CvdT = 0, то U = const, т.е. все подводимое к системе тепло идет на совершение этой системой работы, которую можно рассчитать так
.       (13.4)

Из уравнения состояния идеального газа для моля или киломоля идеального газа pV = RT, p = RT/V, следовательно,

.       (13.5)

Графически эту работу (в координатах p, V) можно представить в виде площади фигуры, ограниченной изотермой ab, осью OV и прямыми V1 и V2 (рис.13.1).

Из полученного результата можно сделать вывод: при изотермическом процессе работа, совершаемая системой, зависит только от соотношения начального и конечного объемов.

3.1.1.2. Изобарический процесс

Изобарический процесс. Это процесс, протекающий при постоянном давлении (p = const).

В этом случае

dQ = dU + dA,       (13.6)
т.е. подводимое к системе тепло идет как на изменение ее внутренней энергии, так и на совершение этой системой работы. При этом
dQ = CpdT; dU = CvdT; dA = pdV.       (13.7)

Определим долю подводимой к системе энергии, которая идет на совершение работы, и долю этой энергии, которая идет на изменение внутренней энергии системы. Известно, что

dA = pdV,       (13.8)
но для моля или киломоля идеального газа pV = RT,dp· V = R· dT, следовательно, dA = R ·dT, dT = dQ/Cp, тогда
dA = (R/Cp)·dQ = (1 - 1/γ)dQ = (γ- 1)/ ·dQ.       (13.9)

Изменение внутренней энергии

dU = CvdT = Cv/Cp· dQ = dQ/γ,       (13.10)
где γ = Cp/Cv.

3.1.1.3. Изохорический процесс

Изохорический процесс. Это процесс, протекающий при постоянном объеме (V = const).

Первое начало термодинамики

dQ = dU + dA = dU.       (13.11)
так как, dA = p ·dV = 0 . Таким образом, при изохорическом процессе, все подводимое к системе тепло идет на изменение ее внутренней энергии. При этом
dQ = CvdT.       (13.12)
следовательно
dU = CvdT,∆U = Cv∆T.       (13.14)

Изменение внутренней энергии системы пропорционально изменению ее температуры.

3.1.1.4. Адиабатический процесс

Очень часто на практике приходится иметь дело с процессами, протекающими без теплообмена или почти без теплообмена с окружающей средой. Такие процессы называют адиабатическими или адиабатными. Примером адиабатического процесса может служить быстро протекающий процесс сжатия или расширения газа.

Найдем зависимость между давлением и объемом при адиабатическом процессе, для чего воспользуемся первым началом термодинамики dQ = dU + dA , так как dQ = 0, то

dU + dA = 0, a dU = - dA,       (13.15)
т.е. работа, совершаемая системой при адиабатическом процессе, сопровождается изменением ее внутренней энергии. Но, dA = p· dV ,a dU = CvdT, тогда
p ·dV = - Cv ·dT.       (13.16)

Из уравнения состояния идеального газа для моля или киломоля p = RT/V, следовательно RT/V dV = - CvdT или RdV/(CvV) = -dT/T откуда R/Cv ·lnV1/V2 = lnT2/T1 т.е. ln(V1/V2)R/Cv = lnT2/T1, a

(V1/V2)R/Cv = T2/T1       (13.17)

Известно, что R = Cp - Cv, a R/Cv = Cp/Cv - 1 = γ- 1, тогда

(V1/V2)γ-1 = T2/T1;
T1(V1)γ-1 = T2(V2)γ -1 = const
или
E(V)γ -1 = const .       (13.18)

Следовательно, при адиабатических процессах произведение температуры на объем в степени (γ - 1 ) для данной массы остается величиной постоянной.

Из полученного видно, что при адиабатическом расширении идеального газа его температура уменьшается, а при адиабатическом сжатии - увеличивается.

Из уравнения Менделеева - Клапейрона для моля или киломоля идеального газа T = pV/R,V = RT/p. Подставляя значения T и V в уравнение (13.18), имеем

p(V)γ= const, (T)/(p)γ-1 = const.        (13.19)

Уравнения (13.18 и 13.19), связывающие давление и объем, температуру и объем, температуру и давление при адиабатическом процессе называют уравнениями Пуассона.

Графически (в координатах p, V) адиабатический процесс можно представить адиабатой. При этом адиабата располагается более круто, чем изотерма (рис. 13.2). Это объясняется тем, что при изотермическом сжатии давление возрастает за счет изменения молекулярной плотности, т.е. за счет увеличения числа ударов молекул о стенки сосуда. При адиабатическом процессе сжатие сопровождается повышением температуры, т.е. давление возрастает не только за счет увеличения молекулярной плотности, но и за счет роста средней скорости движения молекул.

Следует иметь в виду, что каждая точка адиабаты имеет температуру, отличную от других, следовательно, через каждую точку адиабаты можно провести соответствующую изотерму и наоборот.

Определим работу, совершаемую идеальным газом при адиабатическом расширении. В этом случае работа совершается за счет изменения (уменьшения) его внутренней энергии:

,       (13.20)
откуда
A = - Cv·(T2 - T1) = Cv·(T1 - T2) = Cv ·T1· (1 - T2/T1),       (13.21)
но, T1·(V)γ-1 = T2 ·(V2)γ-1 следовательно
A = Cv ·T1(1 - (V1/V2)γ-1)       (13.22)

Так как Cv = R/(γ-1),то

или .       (13.23)

Графически эта работа изображается площадью фигуры, ограниченной адиабатой, осью OV, и прямыми V1 и V2 (рис.13.3).

Надо отметить, что все рассмотренные процессы в идеальных газах являются частными случаями политропического процесса.

Политропическим процессом называют такой, при котором p и V связаны соотношением

pVn = const,       (3.24)
где n - показатель политропы, принимающий любые значения от - ∞ до + ∞. В частности для изобарического процесса n = 0; изотермического n = 1; адиабатического n = γ; изохорического n = ∞.

Можно показать, что работа, совершаемая идеальным газом при политропическом процессе, определяется соотношением

      (13.25)

Теплоемкость тела при адиабатном процессе Cs = 0, т.к. ΔQ = 0.

Это означает, что теплоемкость при различных термодинамических процессах может принимать любые значения от -∞ до +∞. Указанное обстоятельство можно проиллюстрировать при помощи так называемой шкалы теплоемкостей:

Отметим, что к числу адиабатных процессов, относится процесс распространения звука (ультразвука) в газообразной и жидкой средах. Это связано с тем, что при быстропеременных процессах теплообмен между соседними участками с различной температурой (между соседними полуволнами) не успевает произойти.