Практическое занятие № 2
Электромагнитные колебания

Цель занятия

1. Изучение закономерностей физических процессов в электрическом колебательном контуре при свободных и вынужденных колебаниях.
2. Закрепление навыков расчета параметров колебательного процесса, практическое применение закона Ома для цепи переменного тока.

Краткие теоретические сведения

Электромагнитными колебаниями называют периодические процессы, при которых происходят взаимосвязанные изменения электрических параметров (зарядов, токов, напряжений) и превращения энергии электрического и магнитного полей.

Для возбуждения и поддержания электромагнитных колебаний используется колебательный контур (RLC-контур) – электрическая цепь, состоящая из последовательно соединенных конденсатора емкостью С, катушки индуктивностью L и резистора сопротивлением R.

Рассмотрим колебательный процесс в идеализированном контуре, сопротивление которого R≈0 (рис. 2, а). Для возбуждения в контуре колебаний конденсатор предварительно заряжают от внешнего источника. Тогда в начальный момент времени t=0 между обкладками конденсатора возникает электрическое поле, энергия которого . Если замкнуть конденсатор на катушку индуктивности, он начнет разряжаться, и в контуре потечет возрастающий со временем ток i (рис. 2, б). В результате энергия электрического поля будет уменьшаться, а энергия магнитного поля катушки () – возрастать.

Так как R≈0, то, согласно закону сохранения энергии, полная энергия контура

так как она не рассеивается на нагрев. Поэтому в момент , когда конденсатор полностью разрядится, энергия электрического поля обращается в нуль, а энергия магнитного поля (а, следовательно, и ток) достигает максимального значения. Начиная с этого момента, ток в контуре будет убывать, начнет ослабевать магнитное поле катушки и в ней индуцируется ток, который по правилу Ленца течет в том же направлении, что и ток разрядки конденсатора. Конденсатор начнет перезаряжаться, возникает электрическое поле, стремящееся ослабить ток, который к моменту  обращается в нуль, а заряд на обкладках конденсатора достигает максимума. Далее те же процессы начнут протекать в обратном направлении, и система к моменту времени t = T вернется к первоначальному состоянию. После этого рассмотренный цикл разрядки и зарядки конденсатора будет повторяться, то есть в контуре совершаются периодические незатухающие колебания заряда q конденсатора, напряжения на его обкладках u_c и тока, протекающего через катушку.

В идеальном контуре ЭДС самоиндукции, возникающая при изменении тока, равна напряжению на обкладках конденсатора u_c = q / C, то есть

Учитывая, что получаем

или Решением этого дифференциального уравнения является функция q = q_m cos (ω₀t + φ) , где q_m– максимальный заряд на обкладках конденсатора.

Таким образом, свободные гармонические колебания электрического заряда в идеальном контуре происходят с циклической частотой

а период этих колебаний определяется формулой Томсона

По гармоническому закону изменяется не только заряд конденсатора, но и напряжение на его обкладках, и сила тока в контуре (рис. 3):

где – амплитуда напряжения на обкладках конденсатора, I_m = ω₀q_m – амплитуда силы тока в контуре.

В реальном колебательном контуре R≠0, поэтому энергия колебаний будет частично рассеиваться в виде джоулевой теплоты и амплитуды колебаний электрического заряда, напряжения на обкладках конденсатора и силы тока в контуре со временем уменьшаются. Записав для такого контура уравнение по второму правилу Кирхгофа, получим:

или где – коэффициент затухания.

Закон колебаний заряда в данном случае имеет вид

q(t) = q_me^-δt cos (ωt + φ) , где

Очевидно, что при R = 0 получаем циклическую частоту свободных незатухающих колебаний .

Разделив зависимость q(t) на величину емкости С конденсатора, получим закон изменения во времени напряжения на его обкладках:

Зависимость силы тока в контуре от времени

i(t) = qʹ(t) = q_me^-δt [ -δ cos (ωt + φ) - ω sin(ωt + φ) ] .

Добротность колебательного контура

При увеличении сопротивления R контура коэффициент затухания увеличивается, частота колебаний уменьшается, период возрастает и при δ = ω₀ обращается в бесконечность. Это означает, что процесс перестает быть периодическим, колеблющаяся величина асимптотически приближается к нулю. Такой процесс называют апериодическим (рис. 4). Сопротивление контура, при котором вместо колебаний происходит апериодический разряд конденсатора, называется критическим.

Установившиеся вынужденные электромагнитные колебания в цепи, содержащей резистор, катушку индуктивности и конденсатор, называют переменным электрическим током. Переменный ток промышленной частоты (50 Гц) получают на электрических станциях с помощью генераторов, работа которых основана на явлении электромагнитной индукции.

Закон Ома для действующих значений силы тока и напряжения в цепи переменного тока, содержащей последовательно соединенные резистор, индуктивный и емкостный элементы, имеет вид:

где Z – полное сопротивление цепи. Разность фаз колебаний напряжения и силы тока, определяемая из векторной диаграммы цепи,

Явление резкого возрастания амплитуды силы тока в контуре из последовательно соединенных элементов R, L, C при совпадении частоты ω внешнего переменного напряжения с собственной частотой ω₀ колебательного контура, называют резонансом напряжений (последовательным резонансом). В этом режиме

то есть добротность контура определяет, во сколько раз напряжение на реактивных элементах контура при резонансе может превышать напряжение на зажимах цепи.

Примеры решения задач

Задача 1. Конденсатор емкостью 50 пФ сначала подключили к источнику тока с ЭДС, равной 3 В, а затем к идеальной катушке с индуктивностью 5,1 мкГн. Найти частоту колебаний в контуре и максимальное значение силы тока, протекающего через катушку.

Дано: С=50 пФ; ε = 3 В; L=5,1 мкГн; R_к=0.

Найти: v₀ , I_m

Решение
При подключении конденсатора к источнику ЭДС он заряжается до напряжения u = ε и его заряд равен q_m = Cε. Если заряженный конденсатор подключить к катушке без потерь, то в контуре возникнут свободные незатухающие колебания заряда, тока и напряжения на конденсаторе. Собственная частота таких колебаний

Начальная энергия контура  сосредоточена в электрическом поле конденсатора. В момент, когда ток максимален, заряд конденсатора равен нулю и вся энергия контура будет сосредоточена в катушке: Тогда по закону сохранения энергии W₁ = W₂ или откуда Ответ: v₀ = 10 МГц, I_m = 9,4 мА.

Задача 2. Колебательный контур содержит катушку индуктивностью 25 мГн, конденсатор емкостью 10 мкФ и резистор сопротивлением 1 Ом. Конденсатор зарядили количеством электричества 1 мКл. Определить: а) период колебаний контура; б) логарифмический декремент затухания; в) добротность контура; г) зависимость u_C(t).

Дано:  L = 25·10^-3 Гн; С = 10^-5 Ф; R = 1 Ом; q_m = 10^-3 Кл

Найти: T, θ, Q, u_C(t).

Решение

u_C(t) = U_Cme^-δt cos ωt , где Коэффициент затухания колебаний   
Период колебаний и логарифмический декремент затухания
θ = δT = 20·0,00314 = 0,063. Добротность колебательного контура Ответ: T = 3,14 мс; θ = 0,063; Q = 50; u_C(t) = 100e^-20t cos 637 πt В.

Задача 3. Показания амперметров, включенных в ветви с конденсатором, катушкой индуктивности и резистором, соответственно равны 2 А, 3 А и 1 А (рис. 5). Что покажет амперметр в неразветвленной части цепи?

Дано: I_C = 2 A ; I_L = 3 A ; I_R = 1 A .

Решение

       Построим векторную диаграмму цепи с учетом фазовых соотношений между напряжением и током на отдельных элементах (рис. 6), где Í_p – реактивная составляющая силы тока. Тогда модуль действующего значения силы тока в неразветвленной части цепи (искомое показание амперметра) будет равен Ответ: