Практическое занятие № 2
Кинематика вращательного движения твердого тела

Цель занятия

1. Изучение основных закономерностей и кинематических характеристик вращательного движения твердого тела.
2. Приобретение навыков решения типовых задач кинематики вращательного движения.

Краткие теоретические сведения

Вращательным движением абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси называют движение, при котором все точки тела движутся в плоскостях, перпендикулярных к неподвижной прямой, называемой осью вращения и описывают окружности, центры которых лежат на этой оси.

Основные кинематические характеристики вращательного движения твердого тела – угол поворота, угловая скорость, угловое ускорение.

Угловая скорость – векторная физическая величина, равная первой производной угла поворота тела по времени:

Вектор угловой скорости направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта. Угловая скорость определяет направление и быстроту вращения. Если ω = const , то вращение называется равномерным.

При равномерном вращении время, за которое точка тела совершает один полный оборот, т.е. поворачивается на угол 2π, называется периодом вращения:

Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности в единицу времени, называется частотой вращения:

Угловое ускорение – векторная физическая величина, определяемая первой производной угловой скорости по времени:

Угловое ускорение характеризует неравномерное вращательное движение. При ускоренном вращении тела вокруг неподвижной оси вектор ε сонаправлен вектору ω, при замедленном – противонаправлен ему.

Связь между линейными (длина пути s, пройденного точкой твердого тела по окружности радиуса R, линейная скорость v точки, тангенциальная a_τ и нормальная a_n составляющие ускорения) и угловыми характеристиками (угол поворота φ, угловая скорость ω, угловое ускорение ε) выражается следующими формулами:

s = Rφ , v = ωR , a_τ = εR , a_n =ω²R .

В табл. 2 приведены кинематические уравнения вращательного движения твердого тела.

Таблица 2 - Кинематические уравнения вращательного движения твердого тела

Примеры решения задач

Задача 1. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону, выражаемому формулой φ = 10 + 20t - 2t².Найти величину полного ускорения точки, находящейся на расстоянии 0,1 м от оси вращения для момента времени t = 4 с (рис. 2).

Дано: φ = 10 + 20t - 2t² ; R = 0,1 м; t = 4 с.

Найти: a.

Решение

где
В момент времени t = 4 с ω = 20 - 4·4 = 4 рад/с;

Ответ: а=1,65 м/с².

Задача 2. Точка движется по окружности радиусом 4 м. Закон ее движения выражается уравнением s = 8 - 2t² , м. Определить: а) в какой момент времени нормальное ускорение точки будет равно 9 м/с²; б) чему равны скорость, тангенциальное и полное ускорения точки в этот момент времени?

Дано: R=4 м; s = 8 - 2t², м; a_n=9 м/с^2.

Найти: t, v, a_τ, a.

Решение
где тогда откуда v = -4·1,5 = -6 м/с;

Ответ: t = 1,5 с ; v = -6 м/c ; a_τ = -4 м/с² ; a = 9,85 м/с² .