Практическое занятие № 4
Адиабатические процессы

Цель занятия

Освоение закона Пуассона для адиабатического процесса, приобретение навыков решения задач с использованием первого начала термодинамики.

Краткие теоретические сведения

Термодинамический процесс, в котором происходит изменение параметров состояния без подвода или отвода теплоты (без теплообмена с окружающей средой), называется адиабатическим или адиабатным.

При адиабатном процессе работа расширения газа совершается за счет внутренней энергии газа, которая при этом уменьшается. Так как Q=0, то по первому началу термодинамики

где – изменение внутренней энергии газа. Поэтому или

где γ = С_р / С_V = c_p / c_V – показатель адиабаты, или коэффициент Пуассона; Т₁ , Т₂ – начальная и конечная температуры газа.

Уравнение адиабаты (закон Пуассона), связывающее параметры идеального газа при адиабатном процессе, имеет вид

Используя уравнение Менделеева-Клапейрона, закону Пуассона можно придать следующий вид:

или

Примеры решения задач

Задача 1. В цилиндре под поршнем находится водород массой 0,02 кг при температуре 300 К. Водород сначала расширился адиабатически, увеличив свой объем в пять раз, а затем был сжат изотермически, причем объем газа уменьшился в пять раз. Найти температуру в конце адиабатического расширения и работу, совершенную газом.

Дано: m=0,02 кг ; Т₁=300 К ; М=2 г/моль ; V₂ / V₁=5 ; i=5.

Найти: Т₂ , А .

Решение
При адиабатном процессе температуры и объемы газа связаны между собой соотношением

где γ – показатель адиабаты (для водорода как двухатомного газа γ=1,4). Отсюда выражение для конечной температуры будет иметь вид: Подставляя числовые значения заданных величин, находим Работа А₁ газа при адиабатном расширении определяется по формуле Подставляя в эту формулу числовые значения величин, получим Работу А₂ газа при изотермическом сжатии можно выразить формулой Знак «минус» показывает, что при сжатии газа работа совершена внешними силами. Полная работа, совершенная газом при рассмотренных процессах, Ответ: Т₂ = 157,5 К, А= 8,5 кДж.

Задача 2. Кислород, находящийся в состоянии 1 при давлении p₁=0,5 МПа, температуре T₁=350 К и занимающий объем V₁=1 л, перевели в состояние 2, подвергнув адиабатному расширению до объема V₂=2 л. Затем изобарно объем газа был увеличен до V₃=3 л. В состояние 4 кислород был переведен путем изотермического увеличения объема V₃ в два раза. После этого последовал изохорный нагрев на ΔT₄₅= 150 К, который перевел газ в пятое состояние (рис. 12). Определить термодинамические параметры каждого из состояний. Для каждого из описанных процессов найти: 1) работу, совершенную газом; 2) изменение его внутренней энергии; 3) количество подведенной к газу теплоты.

Решение
Согласно первому началу термодинамики, количество теплоты Q, полученное газом, расходуется на изменение внутренней энергии ΔU и совершение газом работы А против внешних сил:

Параметры состояния 1 известны из условия задачи: p₁=0,5·10⁶ Па, V₁= 10^-3 м³, T₁=350 К.

1. Адиабатный процесс совершается, по определению, без теплообмена с окружающей средой, и описывает в рамках данной задачи переход системы из состояния 1 в состояние 2. Поэтому

Из первого уравнения, записанного для адиабатного процесса, имеет вид Известно, что изменение внутренней энергии для любого термодинамического процесса . Тогда, в нашем случае где m –масса газа, – молярная теплоемкость при постоянном объеме, i=5 – число степеней свободы двухатомной молекулы, какой является молекула кислорода; R=8,31 Дж/(моль К) – молярная газовая постоянная; М = 32·10^-3 кг/моль – молярная масса кислорода.
Температуру Т₂ найдем, используя уравнение Пуассона, описывающее адиабатный процесс: где γ = ^{i + 2}/_i = ⁷/₅ = 1,4– показатель адиабаты. Отсюда После подстановки исходных данных получим Т₂= 265 К.
Массу газа найдем из уравнения Менделеева – Клапейрона, записанного для состояния 1 откуда Подстановка данных и расчет дает массу газа m = 0,0055 кг.
Из уравнения Менделеева – Клапейрона для состояния 2 найдем давление р₂: Подстановка числовых данных и расчет приводят к результату р₂=0,189·10⁶ Па. Таким образом, определили термодинамические параметры для состояния 2: Подставив значения T₂, m и C_V в уравнение, получим ΔU₁₂ = ‒303 Дж.

Следовательно A₁₂ = ‒ΔU₁₂ = 303 Дж.
Итак, для адиабатного процесса, переводящего систему из состояния 1 в состояние 2, получили Q₁₂ = 0 Дж, ΔU₁₂ = ‒303 Дж, A₁₂ = 303 Дж.

2. Изобарный процесс характеризуется постоянством давления. Для этого процесса первое начало термодинамики имеет вид

При изобарном расширении (в нашей задаче – это переход из состояния 2 в состояние 3) работа газа определяется по формуле где р₂=0,189·10⁶ Па = const. Из условия задачи известны V₂ и V₃. Подстановка численных значений в формулу дает А₂₃=189 Дж.
Температуру T₃ найдем, воспользовавшись законом Гей–Люссака для изобарного процесса откуда Отметим, что так как процесс 2 => 3 – изобарный, следовательно, р₂ = р₃. Таким образом, определили термодинамические параметры для состояния 3: p₃ = 0,189·10⁶ Па, V₃ = 3·10^-3 м³, T₃ = 397 К.
Изменение внутренней энергии газа рассчитаем по уже известной формуле Количество теплоты Q₂₃, полученное газом в изобарном процессе, найдем согласно уравнению (1): Итак, для изобарного процесса, переводящего систему из состояния 2 в состояние 3, получили A₂₃ =189 Дж, ΔU₂₃ = 471 Дж, Q₂₃ =660 Дж.

3. Изотермический процесс характеризуется постоянством температуры. Для этого процесса первое начало термодинамики имеет вид

так как при постоянной температуре внутренняя энергия системы не изменяется, то есть ΔU = 0.
Следовательно, при изотермическом изменении объема (в нашей задаче – это переход из состояния 3 в состояние 4) количество полученной газом теплоты будет количественно совпадать с работой газа, которая, в свою очередь, равна Определим параметры состояния 4: Т₄=Т₃, так как процесс изотермический, V₄=2V₃ – по условию. Давление кислорода p₄ найдем из закона Бойля – Мариотта откуда Подстановка числовых данных и расчет приводят к результату p₄ = 0,095·10⁶ Па.
Таким образом, термодинамические параметры состояния 4: р₄ = 0,095·10⁶ Па, V₄ = 6·10^-3 м³, T₄ = 397 К.
Теперь, когда известны все необходимые данные, проведем расчет по формуле (7) и получим Q₃₄ = A₃₄ = 393 Дж.
Для изотермического процесса, переводящего систему из состояния 3 в состояние 4, получили A₃₄ = 393 Дж, ΔU₃₄ = 0, Q₃₄ = 393 Дж.

4. Изохорный процесс. Характеризуется неизменностью объема, занимаемого газом. Так как работа газом совершается только при изменении его объема, то для изохорного процесса она равна нулю. Это значит, что первое начало термодинамики принимает вид Q = ΔU, или в наших обозначениях Q₄₅ = ΔU₄₅.
Следовательно, при изохорном процессе количество подведенной к газу теплоты будет количественно совпадать с изменением его внутренней энергии, которое, в свою очередь, равно

Определим параметры состояния 5: Т₅=Т₄ + 150 = 547 К – по условию задачи. Процесс изохорный, следовательно, V₅=V₄ = 6·10^-3 м³. Давление кислорода p₅ найдем из закона Шарля откуда Таким образом, термодинамические параметры состояния 5: р₅ = 0,131·10⁶ Па, V₅ = 6·10^-3 м³, T₅ = 547 К.
Проведя расчет по формуле (8) получим Итак, для изохорного процесса, переводящего систему из состояния 4 в состояние 5, получили A₄₅=0, ΔU₄₅ =536 Дж, Q₄₅=536 Дж.